Question

已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是菱形；PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC的中点．

(Ⅰ)求证：PA∥平面BFD；

(Ⅱ)求二面角P―BF―D的大小．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)证明：连结，与交于点，连结．是菱形，∴是的中点．点为的中点，∴．平面平面，∴平面． 　　(Ⅱ)解法一： 　　平面，平面，∴. 　　，∴．是菱形，∴． 　　， 　　∴平面． 　　作，垂足为，连接，则， 　　所以为二面角的平面角． 　　，∴，． 　　在Rt△中，＝，∴． 　　∴二面角的大小为 　　二面角的平面角与二面角的平面角互补 　　∴二面角的大小为－ 　　解法二：如图，以点为坐标原点，线段的垂直平分线所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，令， 　　则，，． 　　∴．设平面的一个法向量为， 　　由，得， 　　令，则，∴． 　　平面，平面， 　　∴． 　　，∴． 　　是菱形，∴． 　　，∴平面． 　　∴是平面的一个法向量，． 　　∴， 　　∴，∴．13分 　　∴二面角的大小为 　　∴二面角的大小为－．