Question

已知数列{a_n}为等比数列，且a₂=6，6a₁+a₃=30．
（Ⅰ）求a_n．
（Ⅱ）设b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，若等比数列{a_n}的公比q＞2，求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）由数列{a_n}为等比数列，且a₂=6，6a₁+a₃=30，知

a1q=6 6a1+a1q2=30

，解得

a1=2 q=3

，或

a1=3 q=2

，由此能求出a_n．
（2）由等比数列{a_n}的公比q＞2，知an=2×3n-1．所以b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n=log3[(2×30)×(2×3)×(2×32)×…×(2×3n-1)]，由此能求出数列{b_n}的通项公式．

解答：解：（1）∵数列{a_n}为等比数列，且a₂=6，6a₁+a₃=30．
∴

a1q=6 6a1+a1q2=30

，
解得

a1=2 q=3

，或

a1=3 q=2

，
∴an=3×2n-1，或an=2×3n-1．
（2）∵等比数列{a_n}的公比q＞2，∴

a1=2 q=3

，an=2×3n-1．
∴b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n
=log3[(2×30)×(2×3)×(2×32)×…×(2×3n-1)]，
=log32n+log33

n(n-1)

2

=nlog₂3+

n(n-1)

2

．
∴bn=nlog32+

n(n-1)

2

．

点评：本题考查等比数列的通项公式和前n项和公式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意对数的性质的灵活运用．