Question

（2012•湖南模拟）已知函数f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+bx+c在x₁处取得极大值，在x₂处取得极小值，满足x₁∈（-1，0），x₂∈（0，1），则

a+2b+4

a+2

的取值范围是（　　）

A．（0，2）

B．（1，3）

C．[0，3]

D．[1，3]

Answer 1

分析：据极大值点左边导数为正右边导数为负，极小值点左边导数为负右边导数为正得a，b的约束条件，据线性规划求出最值．

解答：解：∵f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+bx+c，
∴f′（x）=x²+ax+b
∵函数f（x）在区间（-1，0）内取得极大值，在区间（0，1）内取得极小值，
∴f′（x）=x²+ax+b=0在（-1，0）和（0，1）内各有一个根，
f′（0）＜0，f′（-1）＞0，f′（1）＞0
即

b＜0 1-a+b＞0 1+a+b＞0

，
在aOb坐标系中画出其表示的区域，如图，
∵A（0，-1），B（1，0），C（-1，0），
∴把A（0，-1）代入

a+2b+4

a+2

，得到：

0-2+4

0+2

=1；
把B（1，0）代入

a+2b+4

a+2

，得到：

1+0+4

1+2

=

5

3

；
把C（-1，0）代入

a+2b+4

a+2

，得到：

-1+0+4

-1+2

=3．
∴

a+2b+4

a+2

的取值范围是（1，3）．
故选B．

点评：本题考查学生利用导数研究函数极值的能力，以及会进行简单的线性规划的能力，解题时要认真审题，仔细解答．