Question

已知x＞0，y＞0，＝1，求x＋y的最小值．

Answer 1

答案：
解析：

探究过程：方法一：因为x＞0，y＞0，＝1，所以x＋y＝(x＋y)()＝10＋，所以≥＝6，当且仅当，即y＝3x时，取等号．又＝1，所以当x＝4，y＝12时，x＋y的最小值为16． 　　方法二：由＝1，得x＝，因为x＞0，y＞0， 　　所以y＞9，x＋y＝y＋＋1＝(y－9)＋＋10． 　　因为y＞9，所以y－9＞0． 　　所以y－9＋≥＝6，当且仅当y－9＝，即y＝12时等号成立，所以当x＝4，y＝12时，x＋y的最小值为16． 　　方法三：由＝1，得y＋9x＝xy，所以(x－1)(y－9)＝9． 　　所以x＋y＝10＋(x－1)＋(y－9)≥10＋＝16，当且仅当x－1＝y－9时取等号．又因为＝1，所以x＝4，y＝12． 　　所以当x＝4，y＝12时，x＋y的最小值为16． 　　探究结论：本题给出了三种解法，都用到了基本不等式，且都对式子进行了变形，配凑出基本不等式满足的条件，这是经常用到的方法，要学会观察、变形．另外方法二通过消元，化二元问题为一元问题，要注意根据被代换的变量的范围对另一个变量范围的影响．