Question

15．已知函数f（x）=$\frac{{a}^{x}}{x}$-lna，（a＞0，且a≠1）．
（Ⅰ）若a=e，求函数y=f（x）的单调区间；（其中e=2.71828…是自然对数的底数）
（Ⅱ）设函数$g（x）=\frac{e+1}{ex}$，当x∈[-1，0）∪（0，1]时，曲线y=f（x）与y=g（x）有两个交点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间；
（Ⅱ）令$h（x）={a^x}-xlna-1-\frac{1}{e}$，x∈[-1，0）∪（0，1]，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出a的范围即可．

解答 解：（I）定义域（-∞，0）∪（0，+∞），
a=e时，$f（x）=\frac{e^x}{x}-1，f'（x）=\frac{{{e^x}x-{e^x}}}{x^2}=\frac{{{e^x}（x-1）}}{x^2}$，…（1分）
由f'（x）＞0，得f（x）增区间为（1，+∞），…（2分）
由f'（x）＜0，得f（x）减区间为（-∞，0），（0，1）…（3分）
（II）联立y=f（x）与y=g（x）得$\frac{a^x}{x}-lna$=$\frac{e+1}{ex}$，${a^x}-xlna-1-\frac{1}{e}=0$
令$h（x）={a^x}-xlna-1-\frac{1}{e}$，x∈[-1，0）∪（0，1]
则h'（x）=a^xlna-lna=lna（a^x-1）…（4分）
（1）当a＞1时，lna＞0，
由h'（x）＞0得，0＜x≤1，h'（x）在（0，1]上单调递增
由h'（x）＜0得，-1≤x＜0，h'（x）在[-1，0）上单调递减      …（5分）$且h（0）=-\frac{1}{e}＜0$
由题意得$\left\{{\begin{array}{l}{h（1）=a-1na-1-\frac{1}{e}≥0}\\{h（-1）=\frac{1}{a}+1na-1-\frac{1}{e}≥0}\end{array}}\right.$…（6分）
令$F（a）=h（-1）=\frac{1}{a}+1na-1-\frac{1}{e}$，则$F'（a）=-\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a}=\frac{1}{a^2}（a-1）＞0$，F（a）单调递增，
∵$F（e）=\frac{1}{e}+1ne-1-\frac{1}{e}=0$，∴a≥e…（7分）
令$G（a）=h（1）=a-1na-1-\frac{1}{e}，G'（a）=1-\frac{1}{a}＞0，G（a）$单调递增，
a≥e时，$h（1）=G（a）≥G（e）=e-1-1-\frac{1}{e}＞0$，∴a≥e合题意…（8分）
（2）当0＜a＜1时，lna＜0，
由h'（x）＞0得，0＜x≤1，h'（x）在（0，1]上单调递增
由h'（x）＜0得，-1≤x＜0，h'（x）在[-1，0）上单调递减       …（9分）$且h（0）=-\frac{1}{e}＜0$
由题意得$\left\{{\begin{array}{l}{h（1）=a-1na-1-\frac{1}{e}≥0}\\{h（-1）=\frac{1}{a}+1na-1-\frac{1}{e}≥0}\end{array}}\right.$…（10分）
令$G（a）=h（1）=a-1na-1-\frac{1}{e}，G'（a）=1-\frac{1}{a}＜0，G（a）$单调递减，
∵$G（\frac{1}{e}）=\frac{1}{e}+1n\frac{1}{e}-1-\frac{1}{e}=0$，∴$0＜a≤\frac{1}{e}$…（11分）
令$F（a）=h（-1）=\frac{1}{a}+1na-1-\frac{1}{e}$，则$F'（a）=-\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a}=\frac{1}{a^2}（a-1）＜0$，
∴F（a）单调递减$0＜a≤\frac{1}{e}$时，∵$h（-1）=F（a）≥F（e）=e-1-1-\frac{1}{e}＞0$，∴$0＜a≤\frac{1}{e}$合题意．
综上，a的取值范围是$（0，\frac{1}{e}]∪[e，+∞）$…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．