Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求证：
（1）AC₁⊥BD；
（2）平面AC₁D⊥平面A₁BD．

Answer 1

分析：（1）连接AC，则BD⊥AC．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，由C₁C⊥平面BCD，BD?平面BCD，知C₁C⊥BD，由此能证明AC₁⊥BD．
（2）连接AB₁，则BA₁⊥AB₁．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，由C₁B₁⊥平面BA₁B₁，BA₁?平面BA₁B₁，知C₁B₁⊥BA₁，由C₁B₁∩AB₁=B₁，知BA₁⊥平面AC₁B₁．由此能够证明平面AC₁D⊥平面A₁BD．

解答：证明：（1）连接AC，则BD⊥AC．
在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵C₁C⊥平面BCD，
BD?平面BCD，
∴C₁C⊥BD，
又AC∩CC₁=C，
∴BD⊥平面ACC₁，
∵AC₁?平面ACC₁，
∴AC₁⊥BD．
（2）连接AB₁，则BA₁⊥AB₁．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵C₁B₁⊥平面BA₁B₁，
BA₁?平面BA₁B₁，
∴C₁B₁⊥BA₁，
又C₁B₁∩AB₁=B₁，
∴BA₁⊥平面AC₁B₁．
∵AC₁?平面AC₁B₁，
∴AC₁⊥BA₁，
由（1）知AC₁⊥BD，且BA₁∩BD=B，
∴AC₁⊥平面A₁BD．
∵AC₁?平面AC₁D，
∴平面AC₁D⊥平面A₁BD．

点评：本题考查AC₁⊥BD和平面AC₁D⊥平面A₁BD的证明，是中档题．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地化空间问题为平面问题．