Question

四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的正方形，PB垂直面ABCD，证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°．

Answer 1

答案：
解析：

解析：注意到题目中所给的二面角，面PAD与面PCD的棱为PD，围绕PD而考虑问题解决途径． 　　证法一：利用定义法 　　经A在PDA平面内作AE⊥PD于E，连CE． 　　因底是正方形，故CD＝DA． 　　△CED≌△AED，AE＝EC，∠CED＝∠AED＝90°， 　　则CE⊥PD． 　　故∠CEA是面PAD与面PCD所成二面角的平面角． 　　设AC与BD交于O，连EO，则EO⊥AC． 　　因OA＝×＝a，AE＜AD＜a． 　　cos∠AEC＝＝＜0． 　　所以面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°． 　　证法二：运用三垂线法 　　∵PB⊥面ABCD，则PB⊥AD，又AD⊥AB， 　　∴AD⊥面PAB，即面PAB⊥面PAD． 　　过B作BE⊥PA，则BE⊥面PAD． 　　在面PBC内作PGBC，连GD． 　　经C作CF⊥面PAD于F， 　　那么连结EF，有EFAD． 　　经F作FH⊥PD于H，连CH， 　　则∠FHC是所求二面角平面角的补角． 　　因CF⊥FH，故∠FHC是锐角． 　　则面PAD与面PCD所成二面角大于90°． 　　此结论证明过程中与棱锥高无关． 　　证法三：利用垂面法找平面角． 　　在证法一所给图形中 　　连AC、BD，因AC⊥BD，PB⊥面ABCD， 　　∴AC⊥PD． 　　经A作AE⊥PD于E，那么有PD⊥面AEC，连CE， 　　即PD⊥CE． 　　故PD与平面AEC垂直后，面AEC与面ADC及面ADP的交线EA、EC构成角∠CEA就是二面角的平面角． 　　以下同证法一．