Question

设数列{a_n}满足an+1-an=2，(n∈N*)，  a9=17；数列{b_n}满足bn=3an．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证数列{b_n}为等比数列，并求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由an+1-an=2，(n∈N*)，  a9=17，得数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列，由此能求出a_n=2n-1．
（2）由a_n=2n-1，知bn=3an=3^2n-1=

1

3

•9n，由此能证明数列{b_n}为等比数列，并求数列{b_n}的前n项和S_n．

解答：解：（1）∵an+1-an=2，(n∈N*)，  a9=17，
∴数列{a_n}是公差为2的等差数列，且a₁+16=17，
解得a₁=1，
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1，
∴a_n=2n-1．
（2）∵a_n=2n-1，
∴bn=3an=3^2n-1=

1

3

•9n，
∴bn+1=

1

3

•9n+1，
∴

bn+1

bn

=

1 3 •9n+1

1 3 •9n

=9，
∴数列{b_n}为等比数列．
∵bn=

1

3

•9n，
∴数列{b_n}的前n项和
S_n=

1

3

（9+9²+9³+…+9ⁿ）=

1

3

×

9(1-9n)

1-9

=

3

8

（9ⁿ-1）．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查等比数列的证明，考查等比数列前n项和公式的应用，解题时要认真审题，仔细解答．