Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a≥b，sinA+

3

cosA=2sinB．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求

a+b

c

的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）化简已知条件可得sin（A+

π

3

）=sinB，再由大边对大角可得A+B=

2π

3

，从而求得 C的值．
（Ⅱ）由正弦定理及（Ⅰ）得

a+b

c

=2sin（A+

π

6

），由此可得

a+b

c

的最大值．

解答：解：（Ⅰ）sinA+

3

cosA=2sinB，即 2sin（A+

π

3

）=2sinB，则 sin（A+

π

3

）=sinB．…（3分）
因为0＜A，B＜π，又a≥b，进而A≥B，
所以A+

π

3

=π-B，故A+B=

2π

3

，故 C=

π

3

．…（6分）
（Ⅱ）由正弦定理及（Ⅰ）得

a+b

c

=

sinA+sinB

sinC

=

2

3

[sinA+sin（A+

π

3

）]
=

3

sinA+cosA=2sin（A+

π

6

）．…（10分）
故当A=

π

3

时，

a+b

c

取最大值2．…（12分）

点评：本题主要考查两角和的正弦公式，正弦定理，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．