Question

已知数列{a_n}满足：a1=1，an+1=(1+

1

n

)an+

n+1

3n

（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）记数列{3n-2a_n}的前n项和为S_n，求证：Sn＜

9

4

．

Answer 1

分析：（1）根据题意得an+1=(1+

1

n

)an+

n+1

3n

⇒

an+1

n+1

=

an

n

+

1

3n

，然后利用累加法可求出数列{a_n}的通项公式；
（2）先求出数列{3n-2a_n}的通项公式，然后利用错位相减法求出数列{3n-2a_n}的前n项S_n即可．

解答：解：（1）an+1=(1+

1

n

)an+

n+1

3n

⇒

an+1

n+1

=

an

n

+

1

3n

∴

a2

2

-

a1

1

=

1

31

，

a3

3

-

a2

2

=

1

32

，…

an

n

-

an-1

n-1

=

1

3n-1

由累加法可得an=

3

2

n-

n

2

•(

1

3

)n-1
（2）3n-2an=n•(

1

3

)n-1而数列{3n-2a_n}的前n项和为S_n，
S_n=1+2(

1

3

)1+3(

1

3

)2+…n(

1

3

)n-1

1

3

S_n=

1

3

+2(

1

3

)2+…（n-1）(

1

3

)n-1+n(

1

3

)n

2

3

S_n=1+

1

3

+(

1

3

)2+…(

1

3

)n-1-(

1

3

)n
由错位相减法，易得Sn=

9

4

-(

9

4

+

3

2

n)•(

1

3

)n＜

9

4

点评：本题主要考查了利用累加法求数列通项，以及利用错位相消法求数列的和，同时考查了计算能力，属于中档题．