Question

定义在（-1，1）的函数f（x）满足：①对任意x，y∈（-1，1）都有f（x）+f（y）=；②当0＜x＜1时，f（x）＞0．回答下列问题．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）判断函数f（x）在（-1，1）上的单调性，并说明理由；
（3）若，试求的值．

Answer 1

解：（1）函数定义域为（-1，1）．令x=y=0得f（0）=0，
令y=-x，则有f（x）+f（-x）=0，得f（-x）=-f（x），
所以函数f（x）在区间（-1，1）上是奇函数．
（2）设-1＜x₁＜x₂＜1，
则
而x₂-x₁＞0，|x₁||x₂|＜1
∴1-x₁x₂＞0
∴，
又因为1-x₂＞0，1+x₁＞0
∴（1-x₂）（1+x₁）=1-x₁x₂-x₂+x₁＞0，即
∴，
所以．即当x₁＜x₂时，f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在区间（-1，1）上是单调递增函数．
（3）由于即
∵即
∵即
又∵
∴
∴
分析：（1）判断函数f（x）的奇偶性：①判断函数定义域是否关于原点对称，②判断f（-x）与f（x）的关系．
（2）证明函数f（x）的单调性，利用定义，分五步①设元，②作差，③变形，④判号，⑤下结论．
（3）利用题中所给的等式，把要求的已知的相结合，逐步求出要求的值．
点评：本题考查了抽象函数的奇偶性，单调性，与具体函数的证明方法相同，做题一定要抓牢定义，特别是证明题，一切方法源根本．