Question

在数列{a_n}中，a1=-

1

2

，an+1=2an+n-1，n∈N^*．
（1）证明数列{a_n+n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）求S_n的最小值，指出S_n取最小值时n的值，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由递推关系拼凑出a_n+n和a_n+1+（n+1）之间的关系式找到其比值为常数即可．
（2）由{a_n+n}是等比数列找到{a_n}的通项，再用分组求和的方法求出{a_n}的前n项和S_n；
（3）先找的关系，得到猜想“n∈N^*，且n≥4时，2^n-1＞（n+1）”，再用数学归纳法证明即可．

解答：（1）证明：

an+1+(n+1)

an+n

=

2an+n-1+(n+1)

an+n

=

2an+2n

an+n

=2，n∈N^*
又a1+1=-

1

2

+1=

1

2

，
所以数列{a_n+n}是首项为

1

2

，且公比为2的等比数列
（2）解：
由（1）可知a_n+n=

1

2

×2^n-1=2^n-2
于是数列{a_n}的通项公式为a_n=2^n-2-n
所以数列{a_n}的前n项和Sn=

1 2 (1-2n)

1-2

-

(1+n)n

2

=2n-1-

n(n+1)

2

-

1

2

（3）对任意的n∈N^*，S_n+1-S_n=(2n-

(n+1)(n+2)

2

-

1

2

)-(2n-1-

n(n+1)

2

-

1

2

)=2^n-1-（n+1）
n=1时，2^n-1-（n+1）=-1＜0  所以S₂＜S₁    
n=2时，2^n-1-（n+1）=-1＜0    所以S₃＜S₂
n=3时，2^n-1-（n+1）=0        所以S₄=S₃
n=4时，2^n-1-（n+1）=3＞0      所以S₅＞S₄
猜想“n∈N^*，且n≥4时，2^n-1＞（n+1）”
下面用数学归纳法证明：
①当n=4时，已证
②假设当n=k（k≥4）时，命题成立，即2^k-1＞（k+1）
那么当n=k+1时，2^k=2×2^k-1＞2（k+1）=（k+2）+k＞k+2=（k+1）+1
这就是说，当n=k+1时，命题也成立
根据①和②，可知当n∈N^*且n≥4时，不等式2^n-1＞（n+1）都成立
综上S₁＞S₂＞S₃=S₄＜S₅＜S₆＜＜S_n＜S_n+1＜
所以当n=3，?n=4时，S_n取到最小值：-

5

2

点评：本题是一道综合题，既有等比数列的证明和数列的求和，又用到了数学归纳法的证明，是一道中档题．