Question

（2013•大连一模）已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（1+x）=f（1-x），且x∈[0，1]时，f(x)=-

7

8

x，则方程f(x)=(

1

2

)|x|-1在区间[-3，3]上的根的个数为（　　）

A．5

B．4

C．3

D．2

Answer 1

分析：由题意可得函数f（x）的图象关于x=1对称，函数y=(

1

2

)|x|-1图象可看作y=(

1

2

)|x|的图象向下平移1个单位得到，原问题等价于f（x）与y=(

1

2

)|x|-1图象的交点的个数，作出它们的图象可得答案．

解答：解：由f（1+x）=f（1-x）可得函数f（x）的图象关于x=1对称，
方程f(x)=(

1

2

)|x|-1在区间[-3，3]根的个数等价于f（x）与y=(

1

2

)|x|-1图象的交点的个数，
而函数y=(

1

2

)|x|-1图象可看作y=(

1

2

)|x|的图象向下平移1个单位得到，
作出它们的图象如图：

可得两函数的图象有5个交点，
故选A

点评：本题考查根的存在性及根的个数的判断，数形结合是解决问题的关键，属中档题．