Question

若函数f（x）=

a-x2

|x+1|-1

为奇函数，则a的取值范围为

（0，1]

．

Answer 1

分析：f（x）=

a-x2

|x+1|-1

中，a＞0，由y=

a-x2

在定义域内是一个偶函数，x∈[-

a

，

a

]，知g（x）=|x+1|-1 为奇函数，由此能求出a的取值范围．

解答：解：∵f（x）=

a-x2

|x+1|-1

中，x≠0，a-x²≥0，
∴a≥x²＞0，
∵y=

a-x2

在定义域内是一个偶函数，x∈[-

a

，

a

]，
∴要函数f（x）=

a-x2

|x+1|-1

为奇函数，则g（x）=|x+1|-1 为奇函数，
（1）当-1≤x≤1时，g（x）=x+1-1=x；
（2）当x＞1时，g（x）=x+1-1=x；
（3）当x＜-1时，g（x）=-x-1-1=-x-2
所以只有定义域为[-1，1]的子区间，且定义域关于0对称时，g（x）才是奇函数
所以

a

≤1，即a≤1，
所以0＜a≤1．
故答案为：（0，1]．

点评：本题考查函数的奇偶性的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的灵活运用．