Question

已知向量

a

=（cosθ，sinθ），

b

=（2，-1）．
（1）若

a

⊥

b

，求

sinθ-cosθ

sinθ+cosθ

的值；
（2）若|

a

-

b

|=2，θ∈(0 ， 

π

2

)，求sin(θ+

π

4

)的值．

Answer 1

分析：（1）由

a

⊥

b

，可得

a

•

b

=2cosθ-sinθ=0，求得tanθ=2，从而求得

sinθ-cosθ

sinθ+cosθ

=

tanθ-1

tanθ+1

 的值．
（2）把已知等式平方求得

a

•

b

=1，即2cosθ-sinθ=1，平方可得4cos²θ-4sinθcosθ+sin²θ=1，求得 tanθ=

3

4

．再利用同角三角函数的基本关系求得cosθ 和sinθ 的值，从而求得 sin(θ+

π

4

)=

2

2

sinθ+

2

2

cosθ的值．

解答：解：（1）若

a

⊥

b

，
则

a

•

b

=2cosθ-sinθ=0，tanθ=

sinθ

cosθ

=2，
∴

sinθ-cosθ

sinθ+cosθ

=

tanθ-1

tanθ+1

=

2-1

2+1

=

1

3

．
（2）∵|

a

|=1，|

b

|=

5

，
若|

a

-

b

|=2，θ∈(0 ， 

π

2

)，
则有

a

2-2

a

•

b

+

b

2=4，即 1-2

a

•

b

+5=4，解得

a

•

b

=1，
即 2cosθ-sinθ=1，平方可得4cos²θ-4sinθcosθ+sin²θ=1，
化简可得 3cos²θ-4sinθcosθ=0，
即 tanθ=

3

4

．
再利用同角三角函数的基本关系sin²θ+cos²θ=1，
求得cosθ=

4

5

，sinθ=

3

5

，
∴sin(θ+

π

4

)=

2

2

sinθ+

2

2

cosθ=

7 2

10

．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，属于中档题．