Question

四面体ABCD中，AB=2，BC=3，BD=2

3

，CD=3，∠ABD=30°，∠ABC=60°，则AB与CD所成角为

60°

．

Answer 1

分析：根据题意画出相应的图形，如图所示，在三角形ABD中，过A作AE垂直于BD，交BD于点E，连接CE并延长，使EF=EC，连接BF，DF，AF，可得出∠ABF为AB与CD所成角，求法为：在三角形ABE中，由30°所对的直角边等于斜边的一半，根据AB的长求出AE的长，进而利用勾股定理求出BE的长，发现BE为BD的一半，即E为BD的中点，又BC=DC，CE为BD上的中线，根据三线合一得到CE垂直于BD，根据AE垂直于面BCDF，可得出AE垂直于EF，再由EF=CE，BE=DE，得到四边形BCDF为平行四边形，再由邻边BC=DC，可得出四边形BCDF为菱形，得出BF=BC，由BC的长，得出BF的长，在直角三角形AEF中，由EF及AE的长，利用勾股定理求出AF的长，在三角形ABF中，利用余弦定理表示出cos∠ABF，将三边长代入求出cos∠ABF的值，由∠ABF的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出∠ABF的度数，即为AB与CD所成角的度数．

解答：解：根据题意画出相应的图形，如图所示：
在△ABD中，过A作AE⊥BD，交BD于点E，连接CE，并延长使EF=EC，连接BF，DF，AF，
在△ABE中，∠ABD=30°，AB=2，
∴AE=

1

2

AB=1，根据勾股定理得到BE=

3

，
又BD=2

3

，∴E为BD的中点，
∵BC=DC=3，∴CF⊥BD，又AE⊥BD，
∴BD⊥面ACF，又面ABD与面ACF交于直线BD，
∴AE⊥面BCD，
∴AE⊥CF，
∵CE=EF，BE=DE，
∴四边形BCDF为平行四边形，又BC=DC，
∴四边形BCDF为菱形，
∴BF=BC=CD=DF=3，
在Rt△BCE中，BC=3，BE=

3

，
根据勾股定理得：CE=

32-( 3 )2

=

6

，
∴EF=CE=

6

，又AE=1，
在Rt△AEF中，根据勾股定理得：AF=

7

，
在△ABF中，AB=2，BF=3，AF=

7

，
∴由余弦定理得：cos∠ABF=

22+32-( 7 )2

2×2×3

=

1

2

，
又0＜∠ABF≤90°，∴∠ABF=60°，
则AB与CD所成角为60°．
故答案为：60°

点评：此题考查了勾股定理，含30°直角三角形的性质，等腰三角形的性质，菱形的判定与性质，余弦定理，直线与平面垂直的判定与性质，以及特殊角的三角函数值，考查了学生空间想象的能力．解题的关键是根据题意画出相应的图形，在图形中确定出所求的角．