Question

11．已知f（x）是定义在R上的函数，且对任意x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，且f（1）=$-\frac{2}{3}$．
（1）证明f（x）在（-∞，+∞）上的单调性．
（2）求f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值．
（3）当x∈[-2，6]时，解不等式f（x²-3）＞f（x）-2．

Answer 1

分析 （1）首先令y=-x，求得f（x）+f（-x）=f（0），然后求出f（0）的值，进而得出f（x）=-f（-x），即可证明为奇函数；设x₁＜x₂，通过f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）+f（x₁）来判断f（x₂）与f（x₁）的大小关系；
（2）先求出f（3）的值，由（2）可知函数为减函数，可知x=-3时，取得最大值，x=6时取得最小值．
（3）利用已知条件结合函数的单调性，推出不等式组，求解即可．

解答 解：（1）f（x）在R是减函数；
证明：令y=-x，则f（x）+f（-x）=f（x-x）=f（0），
当x=1，y=0时，则f（1）+f（0）=f（1）
∴f（0）=0
∴f（x）+f（-x）=f（0）=0
即f（x）=-f（-x）
∴f（x）为奇函数
设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）+f（x₁）
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁），
∵x₂-x₁＞0，由题意得f（x₂-x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁）
∴f（x）在R是减函数；
（2）x∈[-3，3]，∵f（1）=-$\frac{2}{3}$，f（x+y）=f（x）+f（y），
∴f（2）=-$\frac{4}{3}$，
∴f（3）=-2
∵f（x）在[-3，3]上是减函数，
∴f（x）_max=f（-3）=-f（3）=2
f（x）_min=f（3）=-2．
（3）由（2）可知：f（3）=-2
不等式f（x²-3）＞f（x）-2即不等式f（x²-3）＞f（x）+f（3）=f（x+3）．
f（x）在R是减函数；
可得：$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}-3＜x+3\\ x+3≤6\\-2≤{x}^{2}-3\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}-2＜x＜3\\ x≤3\\ x≤-1或x≥1\end{array}\right.$
不等式f（x²-3）＞f（x）-2的解集为：{x|-2＜x≤-1或1≤x＜3}．

点评 本题主要考查了函数奇偶性、单调性的判断，对于抽象函数奇偶性的判断一般采取取特殊值的方法．