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已知椭圆C： $数学公式$ ．
（1）若椭圆的长轴长为4，离心率为 $数学公式$ ，求椭圆的标准方程；
（2）在（1）的条件下，设过定点M（0，2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．

解：（1）由题意，2a=4，e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴a=2，c= $\text{[math]}$
∴b= $\text{[math]}$ =1
∴椭圆C的标准方程为 $\text{[math]}$ ；
（2）显然直线x=0不满足条件，可设直线l：y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
直线代入椭圆方程，消去y可得（1+4k²）x²+16kx+12=0
∵△=（16k）²-4×12×（1+4k²）＞0，∴k＜- $\text{[math]}$ 或k＞ $\text{[math]}$
x₁+x₂=- $\text{[math]}$ ，x₁x₂= $\text{[math]}$
∴y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4= $\text{[math]}$
由于∠AOB为锐角，x₁x₂+y₁y₂＞0，∴ $\text{[math]}$
∴2＜k＜2
∴直线L的斜率的取值范围是（-2，- $\text{[math]}$ ）∪（ $\text{[math]}$ ，2）
分析：（1）利用椭圆的长轴长为4，离心率为 $\text{[math]}$ ，求得几何量，即可求得椭圆的标准方程；
（2）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，及∠AOB为锐角，建立不等式，即可求得直线l的斜率k的取值范围．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．

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