Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的三视图如图所示
（1）求此三棱柱的体积和表面积；
（2）画出此三棱柱，并证明：AC₁⊥AB₁．

Answer 1

解：（1）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
底面△ABC中，AB=BC=a，底边AC上高为a
可得AC=a
因此，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为V=S_△ABC×A₁A=×a×a×a=a³，
表面积为为S_表=a×a+2×a×a+×a×a×2=（3+）a²．
（2）连接A₁B，根据题意知四边形AA₁B₁B是正方形
∴AB₁⊥A₁B
∵△ABC中，AB²+BC²=2a²=AC²，
∴AB⊥BC
又∵侧面AA₁B₁B⊥平面ABC，侧面AA₁B₁B∩平面ABC=AB
∴BC⊥侧面AA₁B₁B
∵AB₁?侧面AA₁B₁B，∴BC⊥AB₁，
∵A₁B、BC是平面A₁BC内的相交直线
∴AB₁⊥平面A₁BC
∵A₁C?平面A₁BC，
∴AC₁⊥AB₁．
分析：（1）根据俯视图，可算出底面△ABC的AC长和AC边上的高，而三棱柱的高为a，求出底面积再用柱体积公式，可得它的体积．再根据它的底面三角形和三个侧面矩形的形状，不难求出它的表面积．
（2）△ABC中，利用平方关系可得AB⊥BC，结合侧面AA₁B₁B⊥平面ABC得BC⊥侧面AA₁B₁B，从而BC⊥AB₁，而正方形AA₁B₁B中AB₁⊥A₁B，所以AB₁⊥平面A₁BC，可得AC₁⊥AB₁．
点评：本题根据三视图还原为直三棱柱，求三棱柱的表面积和体积，并证明线面垂直，考查了三视图的理解、线面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．