Question

已知函数
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）若f（x）向右平移m个单位（m＞0）使得图象关于y轴对称，求m的最小值；
（3）若，，求cos2x₀的值．

Answer 1

解：（1）=2cosx（cosx+sinx）-sin²x+sin2x
=cos2x+sin2x=．
由，k∈Z，解得 ，k∈Z，
∴f（x）的单调递减区间为，k∈Z．
（2）f（x）右移m个单位后，得到函数为，由于图象关于y轴对称，
∴，k∈Z．∴．
∵m＞0，∴k=-1时，．
（3）∵=，∴=，又，
故∈[，]，故cos（）=-．
cos2x₀=cos[（ ）-]=cos（）cos+sin（）sin=．
分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为，由求出x的范围，即得f（x）的单调递减区间．
（2）利用函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换求出g（x）的解析式为，令，k∈Z，
及m＞0，求出m的最小值．
（3）由 =，解出的值，并根据∈[，]，求出cos（） 的值，由cos2x₀=cos[（ ）-]利用两角差的余弦公式求得结果．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的单调性，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换，属于中档题．