Question

如下图所示，直线l₁和l₂相交于点1M，l₁⊥l₂，点N∈l₁，以A、B为端点的曲线段C上任一点到l₂的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|NB|=6，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程.

Answer 1

思路分析：由题意所求曲线段是抛物线的一部分，求曲线方程需建立适当的直角坐标系，设出抛物线方程，由条件求出待定系数即可，求出曲线方程后要标注x、y的取值范围.

解：如图以直线l₁为x轴，线段MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，由条件可知，曲线段C是以点N为焦点，以l₂为准线的抛物线的一段.其中A、B分别为曲线段C的端点.

设曲线段C的方程为y²=2px（p＞0）（x_A≤x≤x_B，y＞0），其中x_A、x_B为A、B的横坐标，p=|MN|，

    所以M（，0）、N（，0）.

    由|AM|=，|AN|=3，得

（x_A+）²+2px_A=17，       ①

（x_A-）²+2px_A=9.          ②

①②联立解得x_A=，代入①式，并由p＞0，

    解得或

    因为△AMN为锐角三角形，所以.

    故舍去所以

    由点B在曲线段C上，得x_B=|BN|-=4.

    综上，曲线段C的方程为y²=8x（1≤x≤4，y＞0）.