Question

5．已知变量x，y满足条件$\left\{\begin{array}{l}{y≤2x}\\{x+y≤m}\\{y≥-1}\end{array}\right.$，若z=y-x的最小值为-3，则z=y-x的最大值为$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，先求出m的值，然后通过平移即可求z的最大值．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=y-x得y=x+z，
平移直线y=x+z，
由图象可知当直线y=x+z经过点C时，直线y=x+z的截距最小，
此时z最小，为-3，即z=y-x=-3，
由$\left\{\begin{array}{l}{y-x=-3}\\{y=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-1}\end{array}\right.$，即C（2，-1），
C也在直线x+y=m上，∴m=2-1=1，
即直线方程为x+y=1，
当直线y=x+z经过点B时，直线y=x+z的截距最大，
此时z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=1}\\{y=2x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{3}}\\{y=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，即B（$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$），
此时z=y-x=$\frac{2}{3}$-$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{3}$，
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．