Question

已知函数f（x）对于一切x、y∈R，都有f（xy）=f（x+y）+f（x-y）．
（Ⅰ）求证：f（x）在R上是偶函数；
（Ⅱ）若f（x）在区间（-∞，0）上是减函数，且有f（2a²+a+1）＜f（-2a²+4a-3），求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）证明：函数f（x）对于一切x、y∈R，都有f（xy）=f（x+y）+f（x-y），
令x=0，得f（0）=f（y）+f（-y），…（1分）
再令y=x，得f（0）=f（x）+f（-x）．…①…（2分）
令y=0，得f（0）=f（x）+f（x）．…②…（3分）
①-②得f（-x）-f（x）=0，…（4分）
∴f（-x）=f（x）．…（5分）
故f（x）在R上是偶函数．…（6分）
（Ⅱ）解：因为f（x）在R上是偶函数，
所以f（x）的图象关于y轴对称．…（7分）
又因为f（x）在区间（-∞，0）上是减函数，
所以f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．…（8分）
∵，
-2a²+4a-3=-2（a²-2a+1-1）-3=-2（a-1）²-1＜0，
∴2a²-4a+3＞0．…（9分）
∵f（-2a²+4a-3）=f（2a²-4a+3）．
原不等式可化为f（2a²+a+1）＜f（2a²-4a+3）…（10分）
∴2a²+a+1＜2a²-4a+3．解之得a＜．…（11分）
故实数a的取值范围是．…（12分）
分析：（Ⅰ）由题意利用赋值法：先令x=0，可得f（0）=f（y）+f（-y），然后再令y=x，得f（0）=f（x）+f（-x），利用赋值求出f（0）即可求证
（Ⅱ）由（I）知f（x）在R上是偶函数，及已知f（x）在区间（-∞，0）上是减函数，结合偶函数对称区间上的单调性相反可知f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，从而可求不等式
点评：本题主要考查了抽象函数的函数值的求解，解题的关键是利用赋值法，偶函数的对称区间上的单调性的应用，及利用函数的单调性求解不等式，具有一定的综合性