Question

平面内有n条直线，其中没有两条平行，也没有三条或三条以上过同一点，设过n条直线将平面分割成的区域数为f(n)，探求f(n)，并用数学归纳法证明。

 

Answer 1

答案：
解析：

当n=1时，显然f(1)=2，当n=2时，f(2)=2+2=4， 当n=3时，f(3)=4+3=7，当n=4时，f(4)=f(3)+4，由此猜想：f(n)=f(n－1)+n， 把n取2，3，4……，n所得的n－1个式子累加， 得f(n)=2+2+3+4+…+n=1+，即。 （1）当n=1时，f(1)=，结论显然成立。 （2）假设n=k时，结论成立，即平面内满足条件的k条直线把平面分成的区域个数为f(k)=，则当n=k+1时，第k+1条直线与前k条直线有k个交点，这k个交点将第k+1条直线分成k+1段，而每一段又将它所在区域一分为二，这样f(k+1)比f(k)多k+1。 ∴， ∴当n=k+1时，结论成立。 由（1）、（2）知，对任意n∈N结论都成立。