Question

已知函数f(x)=2sin2(

π

4

+x)-

3

cos2x，x∈[

π

4

，

π

2

]．
（1）求f（x）的最大值和最小值；
（2）求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）先利用二倍角公式化简，再利用差角的正弦函数化简函数，可得f(x)=1+2sin(2x-

π

3

)，根据已知角的范围，确定2x-

π

3

∈ [

π

6

，

2π

3

]，从而得解；
（2）根据）2x-

π

3

∈ [

π

6

，

2π

3

]，可得2x-

π

3

∈ [

π

6

，

π

2

]时，函数单调增，2x-

π

3

∈ [

π

2

，

2π

3

]时，函数单调减，故可解．

解答：解：（1）由题意，函数可化为：f(x)=1+sin2x-

3

cos2x=1+2sin(2x-

π

3

)
∵x∈[

π

4

，

π

2

]
∴2x-

π

3

∈ [

π

6

，

2π

3

]
∴sin(2x-

π

3

)∈ [

1

2

，1]
∴f（x）∈[2，3]
∴f（x）的最大值和最小值分别为3，2；
（2）∵2x-

π

3

∈ [

π

6

，

2π

3

]
∴2x-

π

3

∈ [

π

6

，

π

2

]时，函数单调增，2x-

π

3

∈ [

π

2

，

2π

3

]时，函数单调减．
∴函数单调增区间为[

π

4

，

5π

12

]，函数单调减区间为[

5π

12

，π]

点评：本题以三角函数为载体，考查三角函数的最值，考查函数的单调性，关键是对函数的化简．