Question

如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2米的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量份数与a、b的乘积ab成反比．现有制箱材料60平方米，问a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量份数最小(A、B孔面积忽略不计)．

Answer 1

答案：
解析：

思路与技巧：应用题的最值问题，主要是选取适当的变量，再依据题设，建立数学模型(即函数关系式)，由变量和常量之间的关系，选取基本不等式求最值． 　　解答一：设y为流出的水中杂质的质量份数，根据题意可知；y＝，其中k＞0且k是比例系数．依题意要使y最小，只需求ab的最大值． 　　由题设知4b＋2ab＋2a＝60(a＞0，b＞0) 　　即a＋2b＋ab＝30(a＞0，b＞0) 　　∵a＋2b≥2∴2＋ab≤30 　　当且仅当a＝2b时，上式取等号． 　　由a＞0，b＞0，解得0＜ab≤18 　　即当a＝2b时，ab取得最大值，其最大值为18． 　　∴2b2＝18．解得b＝3，a＝6． 　　故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量份数最小． 　　 　　评析：均值不等式在实际问题中的应用相当广泛，解题过程为：(1)先构造定值；(2)出现关系式；(3)验证“＝”号成立．