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    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    已知a，b，c∈R+，a+b+c=1，求证：(
    1
    a
    -1)(
    1
    b
    -1)(
    1
    c
    -1)≥
    1
    π
    ∫
    4
    -4
    		16-x2
    dx    ．
    分析：将不等式的左边变形，利用基本不等式，右边求出定积分的值，即可得证．
    解答：证明：∵a+b+c=1，∴(
    1
    a
    -1)(
    1
    b
    -1)(
    1
    c
    -1)    =
    b+c
    a
    ×
    a+c
    b
    ×
    a+b
    c

    ∵a，b，c∈R+，∴
    b+c
    a
    ×
    a+c
    b
    ×
    a+b
    c
    ≥
    2
    		bc
    a
    ×
    2
    		ac
    b
    ×
    2
    		ab
    c
    =8
    ∵
    1
    π
    ∫
    4
    -4
    		16-x2
    dx    =
    1
    π
    ×
    1
    2
    π×42    =8
    ∴(
    1
    a
    -1)(
    1
    b
    -1)(
    1
    c
    -1)≥
    1
    π
    ∫
    4
    -4
    		16-x2
    dx
    点评：本题考查不等式的证明．考查基本不等式的运用，考查定积分计算，属于中档题．
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    证明：
    （1）已知x，y都是正实数，求证：x3+y3≥x2y+xy2，
    （2）已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1，求证：a2+b2+c2 ≥ 
    13
    ．

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    已知a，b，c∈R+且满足a+2b+3c=1，则
    1
    a
    +
    1
    2b
    +
    1
    3c
    的最小值为
    9
    9
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （1）已知a，b，c∈R，且a+b+c=1，求证：a2+b2+c2≥
    1
    3
    ；
    （2）a，b，c为互不相等的正数，且abc=1，求证：
    1
    a
    +
    1
    b
    +
    1
    c
    ＞
    		a
    +
    		b
    +
    		c
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知a，b，c∈R，且a＞b，那么下列不等式中成立的是（　　）

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