Question

如图是一直三棱柱（侧棱）被削去上底后的直观图与三视图的侧（左）视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，N是

BC的重点，侧（左视图是直角梯形，俯视图是等

腰直角三角形，有关数据如图所示.

(Ⅰ)求该几何体的体积；

（Ⅱ）求证：AN//平面CEM；

（Ⅲ）求证：平面BDE⊥平面BCD。

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意可知：四棱锥B－ACDE中，平面ABC⊥平面ACDE，AB⊥AC，

AB⊥平面ACDE，又AC＝AB＝AE＝2，CD＝4，                …………2分

则四棱锥B－ACDE的体积为：，

即该几何体的体积为4.                                       …………4分

（Ⅱ）证明：由题图知，连接MN，则MN∥CD，

且.又AE∥CD，且， ………6分

∴∥，=,∴四边形ANME为平行四边形，∴AN∥EM.

∵AN平面CME，EM平面CME，∴AN∥平面CME.                                     ……………8分

（Ⅲ）证明：∵AC＝AB，N是BC的中点，∴AN⊥BC,

又平面ABC⊥平面BCD，∴AN⊥平面BCD.…………10分

由（Ⅱ）知：AN∥EM,   ∴EM⊥平面BCD，

又EM平面BDE，∴平面BDE⊥平面BCD. ………12分