Question

已知函数f(x)=

4x+1

2ax

(a∈R)是偶函数，g（x）=t•2^x+4，
（1）求a的值；
（2）当t=-2时，求f（x）＜g（x）的解集；
（3）若函数f（x）的图象总在g（x）的图象上方，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由偶函数的定义知f（x）=f（-x），化简即可求得a值；
（2）对f（x）＜g（x）进行等价变形可化为关于2^x的二次不等式，解得2^x的范围，进而可得x的范围；
（3）函数f（x）的图象总在g（x）的图象上方，等价于f（x）＞g（x）恒成立，分离出t后转化为求函数的最值解决；

解答：解：（1）由f（x）是偶函数，得f（x）=f（-x），即

4x+1

2ax

=

4-x+1

2-ax

，
化简得2^2ax=4^x，故a=1；
（2）f（x）＜g（x）即

4x+1

2x

＜-2•2x+4，亦即3•4^x-4•2^x+1＜0，
所以

1

3

＜2x＜1，即log2

1

3

＜x＜0，
所以不等式f（x）＜g（x）的解集为{x|log2

1

3

＜x＜0}；
（3）因为函数f（x）的图象总在g（x）的图象上方，
所以f（x）＞g（x），即

4x+1

2x

＞t•2x+4，得t＜

1

4x

-

4

2x

+1，
∵

1

4x

-

4

2x

+1=(

1

2x

-2)2-3≥-3，∴t＜-3；
故实数t的取值范围为：t＜-3．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性，考查指数不等式的求解及函数恒成立问题，函数恒成立问题往往转化为函数最值解决．