Question

设{a_n}是正数组成的数列，其前n项和为S_n，且对于所有的正整数n，有a_n＝2－2．

(1)写出数列{a_n}的三项；

(2)求数列{a_n}的通项公式，并写出推证过程；

(3)令b_n＝，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

答案：
解析：

(1)由题意，当n＝1时，有a1＝2－2，S1＝a1， 　　∴a1＝2－2，解得a1＝2． 　　当n＝2时，有a2＝2－2，S2＝a1＋a2， 　　将a1＝2代入，整理得(a2－2)2＝16， 　　由a2＞0，解得a2＝6． 　　当n＝3时，有a3＝2－2，S3＝a1＋a2＋a3， 　　将a1＝2，a2＝6代入，整理得(a3－2)2＝64， 　　由a3＞0，解得a3＝10． 　　所以该数列的前三项分别为2，6，10． 　　(2)由an＝2－2(n∈N*)，整理得Sn＝(an＋2)2， 　　则Sn+1＝(an+1＋2)2， 　　∴an+1＝Sn+1－Sn＝[(an+1＋2)2－(an＋2)2]． 　　整理，得(an+1＋an)(an+1－an－4)＝0， 　　由题意知an+1＋an≠0，∴an+1－an＝4． 　　∴即数列{an}为等差数列，其中首项a1＝2，公差d＝4， 　　∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋4(n－1)． 　　即通项公式为an＝4n－2(n∈N*)． 　　(3)bn＝， 　　Tn＝b1＋b2＋…＋bn 　　＝．