Question

已知向量=（cos，sin），=（cos，cos），函数f（x）=•．
（1）求f（x）的单调递减区间，并在给出的方格纸上用五点作图法作出函数f（x）在一个周期内的图象；
（2）求证：函数f（x）的图象在区间[-，]上不存在与直线y=x平行的切线．

Answer 1

解：（1）f（x）==cos²+sincos=cosx+sinx+=sin（x+）+，
令2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈Z，则2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z，
∴f（x）的单调递减区间为[2 kπ+，2kπ+]，k∈Z．
函数f（x）在区间[-，π]上的简图如下：

（2）证明：由（1）知，f（x）=sin（x+）+，
∴f′（x）=cos（x+），
∵x∈[-，]，∴x+∈[-，]，
∴f′（x）=cos（x+）≤＜．
∴函数f（x）的图象在区间[-，]上不存在与直线y=x平行的切线．
分析：（1）先利用向量数量积运算的性质写出函数f（x）的解析式，再利用二倍角公式和两角和的正弦公式，将函数化为y=Asin（ωx+φ）型函数，最后利用整体代入法求出单调减区间，利用五点作图法画出要求图象即可
（2）先求函数f（x）的导函数f′（x），再证明导函数f′（x）在区间[-，]上的最大值小于直线y=x的斜率，最后利用导数的几何意义说明结论
点评：本题综合考查了向量数量积运算、三角变换公式、y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质、导数的几何意义等基础知识，有一定难度