Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=2a_n-3n（n∈N^*）．
（1）证明数列{a_n+3}是等比数列，求出数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

n

3

an，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）根据a_n+1=S_n+1-S_n，求得a_n+1=2a_n+3，整理可得a_n+1+3=2（a_n+3），即可证明数列{a_n+3}是等比数列，从而可求出数列{a_n}的通项公式；
（2）分组，再利用错位相减法，即可求数列{b_n}的前n项和T_n．

解答：（1）证明：因为S_n=2a_n-3n，所以S_n+1=2a_n+1-3（n+1），
则a_n+1=2a_n+1-2a_n-3，所以a_n+1=2a_n+3，
所以a_n+1+3=2（a_n+3），
因为n=1时，a₁=S₁=2a₁-3，所以a₁=3，所以a₁+3=6，
所以数列{a_n+3}是以6为首项，2为公比的等比数列；
所以a_n+3=6•2^n-1=3•2ⁿ，
所以a_n=3•2ⁿ-3；
（2）解：b_n=

n

3

an=n•2ⁿ-n，则T_n=（1•2¹+2•2²+…+n•2ⁿ）-（1+2+…+n）
令T_n′=1•2¹+2•2²+…+n•2ⁿ，则2T_n′=1•2²+2•2³+…+n•2ⁿ⁺¹，
两式相减可得-T_n′=1•2¹+1•2²+1•2³+…+1•2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹，
∴T_n′=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2-

n(n+1)

2

．

点评：本题考查了数列的递推式，等比关系的确定，等比数列通项公式，考查错位相减法，属于中档题．