Question

（2012•西城区一模）已知函数f(x)=eax•(

a

x

+a+1)，其中a≥-1．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（I）先求导数f'（x），欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而问题解决．
（II）对字母a进行分类讨论，再令f'（x）大于0，解不等式，可得函数的单调增区间，令导数小于0，可得函数的单调减区间．

解答：解：（Ⅰ）当a=1时，f(x)=ex•(

1

x

+2)，f′(x)=ex•(

1

x

+2-

1

x2

)．  …（2分）
由于f（1）=3e，f'（1）=2e，
所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是2ex-y+e=0．  …（4分）
（Ⅱ）解：f′(x)=aeax

(x+1)[(a+1)x-1]

x2

，x≠0．               …（6分）
①当a=-1时，令f'（x）=0，解得 x=-1．f（x）的单调递减区间为（-∞，-1）；单调递增区间为（-1，0），（0，+∞）．…（8分）
当a≠-1时，令f'（x）=0，解得 x=-1，或x=

1

a+1

．
②当-1＜a＜0时，f（x）的单调递减区间为（-∞，-1），(

1

a+1

，+∞)；单调递增区间为（-1，0），(0，

1

a+1

)．                                             …（10分）
③当a=0时，f（x）为常值函数，不存在单调区间．       …（11分）
④当a＞0时，f（x）的单调递减区间为（-1，0），(0，

1

a+1

)；单调递增区间为（-∞，-1），(

1

a+1

，+∞)．                      …（13分）

点评：本题以指数函数为载体，主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．