Question

已知椭圆的离心率为，且椭圆上的点到两个焦点的距离和为2．斜率为k（k≠0）的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M（0，m）．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求m的取值范围；
（Ⅲ）试用m表示△MPQ的面积，并求面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）  根据椭圆的定义，椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于长轴长，就可求出a，再根据椭圆的离心率e=，就可求出c值，再结合椭圆中a，b，c的关系式求出b值，就可得到椭圆方程．
（Ⅱ）因为直线l斜率为k（k≠0）且过椭圆的上焦点，就可得到直线l的方程为y=kx+1，与椭圆方程联立，解得P，Q两点的横坐标之和，纵坐标之和，均用含k的式子表示，线段PQ的垂直平分线斜率等于直线l斜率的负倒数且过线段PQ的中点，就可以k为参数求出垂直平分线的点斜式方程，令x=0，解出M点的坐标，把m用含k的式子表示，根据k的范围求出m的范围．
（Ⅲ）y轴把△PQM分成了两个三角形，△PMF₁和△QMF₁所以△PQM的面积就是△PMF₁和△QMF₁的面积之和．△PMF₁和△QMF₁都可看做以MF1为底，高分别为P点和Q点的横坐标的绝对值，利用（Ⅱ）中得到的x₁+x₂，x₁x₂的值，就可把△PQM的面积用含m的式子表示，再利用导数求出最大值即可．
解答：解：（Ⅰ）椭圆上的点到两个焦点的距离和为2，即2a=2，∴a=
椭圆的离心率为，即e=
∵e=，∴，
∴c=1
又∵a²=b²+c²，∴b=1．
又斜率为k（k≠0）的直线l过椭圆的上焦点，即椭圆的焦点在Y轴上
∴椭圆方程为．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+1，由可得（k²+2）x²+2kx-1=0．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则△=8k²+8＞0
，．
．
设线段PQ中点为N，则点N的坐标为，
∵M（0，m），∴直线MN的斜率k_MN=
∵直线MN为PQ的垂直平分线，∴k_MN•k=-1，
可得．即，
又k≠0，∴k²+2＞2，
∴，即．
（Ⅲ）设椭圆上焦点为F，
∵y轴把△PQM分成了△PMF和△QMF，
∴=|FM||x₁|+|FM||x₂|=|FM|（|x₁|+|x₂|）
∵P，Q在y轴两侧，∴|x₁|+|x₂|=||（x₁-x₂）
∴，
∵，
由，可得．
∴．
又∵|FM|=1-m，∴．
∴△MPQ的面积为（）．
设f（m）=m（1-m）³，则f'（m）=（1-m）²（1-4m）．
可知f（m）在区间单调递增，在区间单调递减．
∴f（m）=m（1-m）³有最大值．此时∴△MPQ的面积为×=
∴△MPQ的面积有最大值．
点评：本题（Ⅰ）考查了椭圆定义的应用和椭圆性质的应用求椭圆方程，（Ⅱ）考查了直线与椭圆位置关系的判断，以及韦达定理的应用，（Ⅲ）考查了应用导数求最值．本题综合性强，须认真分析，正确作答．