Question

设f（x）=3ax²+2bx+c，若a+b+c=0，f（0）f（1）＞0，

求证：（1）方程f（x）=0有实根；

（2）-2＜＜-1；

（3）设x₁、x₂是方程f（x）=0的两个实根，则≤|x₁-x₂|＜.

Answer 1

证明:（1）若a=0，则b=-c.

f（0）f（1）=c（3a+2b+c）=-c²≤0，与已知矛盾，所以a≠0.

方程3ax²+2bx+c=0的判别式Δ=4（b²-3ac）.

由条件a+b+c=0，消去b，得Δ=4（a²+c²-ac）=4［（a-c）²+c²］＞0，

故方程f（x）=0有实根.

（2）由f（0）f（1）＞0，得c（3a+2b+c）＞0，

由条件a+b+c=0，消去c.

得（a+b）（2a+b）＜0.

因为a²＞0，所以（1+）（2+）＜0.

故-2＜＜-1.

（3）由条件，知x₁+x₂=-，x₁x₂==-，

所以（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（+）²+.

因为-2＜＜-1，所以≤（x₁-x₂）²＜，

故≤|x₁-x₂|＜.