Question

已知向量

a

=（

3

sinwx，coswx），

b

=（coswx，coswx），其中w＞0，记函数f（x）=

a

•

b

，已知f（x）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求w的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调增区间；
（Ⅲ）当x∈（0，

π

3

]时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知条件，利用向量的数量积公式和三角函数公式能求出f（x）的表达式，再由f（x）的最小正周期为π，能求出w．
（Ⅱ）由f（x）=sin（2x+

π

6

）+1，利用正弦函数的图象的性质，能求出f（x）的单调增区间．
（Ⅲ）由f（x）=sin（2x+

π

6

）+1，根据x∈（0，

π

3

]，求出2x+

π

6

∈（

π

6

，

5π

6

]，由此能求出函数f（x）的值域．

解答：解：（Ⅰ）∵

a

=（

3

sinwx，coswx），

b

=（coswx，coswx），其中w＞0，
∴f（x）=

a

•

b

=

3

sinwxcoswx+cos²wx
=

3

2

sin(2wx)+

1

2

cos(2wx)+

1

2

=sin（2wx+

π

6

）+

1

2

，
∵f（x）的最小正周期为π，
∴

2π

2w

=π，解得w=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=sin（2x+

π

6

）+1，
∴f（x）的单调增区间满足条件：
-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
解得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
∴f（x）的单调增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知：f（x）=sin（2x+

π

6

）+1，
∵x∈（0，

π

3

]，
∴2x+

π

6

∈（

π

6

，

5π

6

]，
∴当2x+

π

6

=

π

2

时，f（x）_max=sin

π

2

+1=2；
当2x+

π

6

=

5

6

π时，f（x）_min=sin

5π

6

+1=

3

2

，
∴当x∈（0，

π

3

]时，函数f（x）的值域[

3

2

，2]．

点评：本题考查平面向量数量积的运算，考查正弦函数增区间的求法，考查正弦函数值的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．