Question

已知：函数f（x）=x³+px²+9qx+p+q+3 （x∈R）的图象关于原点对称，其中p，q是实常数．
（1）求p，q的值；
（2）确定函数f（x）在区间[-3，3]上的单调性；
（3）若当-3≤x≤3时，不等式f（x）≥10sint-49恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

解：（1）由f（-x）=-f（x），得2px²+2（p+q+3）=0恒成立，∴p=0，q=-3．
（2）f（x）=x³-27x，取-3≤x₁＜x₂≤3，则x₁²+x₁x₂+x₂²＜27．
∴f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²-27）＞0，f（x）在[-3，3]为减函数．
（3）由（2）知f（x）在区间[-3，3]上的最小值为f（3）=-54，
∴只需f（3）=-54≥10sint-49，
由，得（k∈Z）．
分析：（1）利用奇函数的性质，得2px²+2（p+q+3）=0恒成立，求得p，q的值
（2）利用单调性的定义，可证明函数f（x）在区间[-3，3]上为减函数
（3）先求出函数f（x）在区间[-3，3]上的最小值，再令10sint-49比所求最小值不大，解不等式即可
点评：本题考查了函数的奇偶性、单调性和不等式恒成立问题，解题时要熟练掌握函数奇偶性、单调性定义，能准确利用函数单调性求函数值域