Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=4，AA₁=，点D是BC的中点，点E在AC上，且DE⊥A₁E。

（1）证明：平面A₁DE⊥平面ACC₁A₁；
（2）求直线AD和平面A₁DE所成角的正弦值。

Answer 1

解：（1）由正三棱柱ABC-A1B1C1的性质知AA1⊥平面ABC 又DE平面ABC， 所以DE⊥AA1 而DE⊥A1E，AA1∩A1E=A1， 所以DE⊥平面ACC1A1 又DE平面A1DE， 故平面A1DE⊥平面ACC1A1。
（2）过点A作AF垂直于点，连接DF 由（1）知，平面⊥平面， 所以AF平面， 故直线AD和平面A1DE所成的角。 因为DE⊥ 所以DE⊥AC 而△ABC是边长为4的正三角形， 于是AD=2，AE=4-CE=4-=3 又因为AA1= 所以A1E===4 ， 即直线AD和平面所成的角的正弦值为。