Question

已知函数f（x）=

x

x2+b

，其中b∈R．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设b＞0．若?x∈[

1

4

，

3

4

]，使f（x）≥1，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）分情况讨论：①当b=0时，②当b＞0时，③当b＜0时，然后利用导数即可求得单调区间；
（Ⅱ）f（x）≥1等价于b≤-x²+x，g（x）=-x²+x，则“?x∈[

1

4

，

3

4

]，使得b≤-x²+x”等价于b小于等于g（x）在区间[

1

4

，

3

4

]上的最大值．

解答：解：（Ⅰ）①当b=0时，f（x）=

1

x

．
故f（x）的单调减区间为（-∞，0），（0，+∞）；无单调增区间．   
②当b＞0时，f′（x）=

b-x2

(x2+b)2

．                           
令f′（x）=0，得x₁=

b

，x₂=-

b

．
f（x）和f′（x）的情况如下：

x	（-∞，- b ）	- b	（- b ， b ）	b	（ b ，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘		↗		↘

故f（x）的单调减区间为（-∞，-

b

），（

b

，+∞）；单调增区间为（-

b

，

b

）．
③当b＜0时，f（x）的定义域为D={x∈R|x≠±

-b

}．
因为f′（x）=

b-x2

(x2+b)2

＜0在D上恒成立，
故f（x）的单调减区间为（-∞，-

-b

），（-

-b

，

-b

），（

-b

，+∞）；无单调增区间．
（Ⅱ）解：因为b＞0，x∈[

1

4

，

3

4

]，
所以f（x）≥1等价于b≤-x²+x，其中x∈[

1

4

，

3

4

]．
设g（x）=-x²+x，g（x）在区间[

1

4

，

3

4

]上的最大值为g（

1

2

）=

1

4

．
则“?x∈[

1

4

，

3

4

]，使得b≤-x²+x”等价于b≤

1

4

．
所以b的取值范围是（0，

1

4

]．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、函数恒成立及函数在区间上的最值问题，考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力．