Question

（本小题满分12分）

如图，为圆的直径，点、在圆上，，矩形和圆所在的平面互相垂直．已知,．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小；

(Ⅲ)当的长为何值时，二面角的大小为？

Answer 1

解：（Ⅰ）证明：平面平面,,

平面平面=，

平面．

平面，，

又为圆的直径，，

平面．

平面，平面平面．            …………4分

 （Ⅱ）根据（Ⅰ）的证明，有平面，为在

平面上的射影，

因此，为直线与平面所成的角．         ………………5分

，四边形为等腰梯形，

过点作，交于．

,，则．

在中，根据射影定理，得．       …………7分

，．

直线与平面所成角的大小为．               …………8分

(Ⅲ)设中点为，以为坐标原点，、、方向分别为轴、轴、轴方向建立空间直角坐标系（如图）设，则点的坐标为

设平面的法向量为，则,．

即     令，解得

                ………………10分

取平面的一个法向量为，依题意与的夹角为

，即， 解得（负值舍去）

因此，当的长为时，二面角的大小为．………12分