Question

在四棱锥P—ABCD中，AD⊥AB，CD∥AB，PD⊥底面ABCD，，直线PA与底面ABCD成60°角，点M、N分别是PA、PB的中点.

（Ⅰ）求二面角P—MN—D的大小；

（Ⅱ）当的值为多少时，∠CND为直角？

Answer 1

解：（Ⅰ）∵PD⊥面ABCD，AB面ABCD，  ∴AB⊥PD，又AB⊥AD， ∴AB⊥面PAD.

     又MN是△PAB的中位线，     ∴MN∥AB，从而MN⊥面PAD.

     ∴∠PMD为二面角P—MN—D的平面角

由已知，在Rt△PAD中，易证：∠PAD=60°，而M是PA的中点，∴∠PMD=120°.

即所求二面角P—MN—D的大小为120°.

（Ⅱ）令，不妨设AD=2，则.

以D为原点，DA、DC、DP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则

D（0，0，0），N（1，2，），C（0，4x，0），

∴（1，2，），（1，2-4x，）；

若∠CND为直角，则必有，

即

于是有，解得.

∴当时，∠CND为直角.