Question

在正方体ABCD-A_lB₁C₁D₁中，P是正方体的底面A_lB₁C₁D₁ （包括边界）内的一动点（不与A₁重合），Q是底面ABCD内一动点，线段A₁C与线段PQ相交且互相平分，则使得四边形A₁QCP面积最大的点P有（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．无数个

Answer 1

分析：根据平行四边形的判定定理，由于线段A₁C与线段PQ相交且互相平分，得出四边形A₁QCP是平行四边形，又因A_lC的长为定值，为了使得四边形A₁QCP面积最大，只须P到A_lC的距离为最大即可，再结合正方体的特征可知，当点P位于B₁、C₁、D₁时，平行四边形A₁QCP面积相等，且最大．

解答：解：∵线段A₁C与线段PQ相交且互相平分，
∴四边形A₁QCP是平行四边形，
因A_lC的长为定值，为了使得四边形A₁QCP面积最大，只须P到A_lC的距离为最大即可，
由正方体的特征可知，当点P位于B₁、C₁、D₁时，平行四边形A₁QCP面积相等，且最大．
则使得四边形A₁QCP面积最大的点P有3个．
故选C．

点评：本小题主要考查棱柱的结构特征，考查考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．