Question

已知函数．
（1）求f（x）的定义域；　
（2）判断f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并证明．

Answer 1

解：（1）令分母2^x-1≠0解得x≠0，故定义域为{x|x≠0}
函数的解析式可以变为 ，
由于2^x-1＞-1，故 ＜-1或 ＞0
故 ＞0或 ＜-2，
∴的取值范围是（-∞，-1）∪（1，+∞）
（2）f（x）在（0，+∞）是一个减函数，证明如下：
由于 ，在（0，+∞）上，2^x-1递增且函数值大于0，在（0，+∞）上是减函数，
故 在（0，+∞）上是减函数．
分析：（1）求f（x）的定义域可令分母2^x-1≠0求解，对函数的解析式进行变化，判断出值域即可值域；
（2）判断f（x）在（0，+∞）的单调性并证明，由解析式可以看出本函数在（0，+∞）是一个减函数，可由复合函数的单调性的判断方法判断证明即可．
点评：本题考查函数单调性的、函数的定义域与值域的求法，求解此类题的关键是对函数性质的证明方法了然于心，熟知其各种判断证明方法．