Question

设直线l：y=x+1与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点F．
（Ⅰ）证明：a²+b²＞1；
（Ⅱ）若F是椭圆的一个焦点，且

AF

=2

FB

，求椭圆的方程．

Answer 1

证明：（Ⅰ）将y=x+1代入

x2

a2

+

y2

b2

=1，消去x，得（a²+b²）y²-2b²y+b²（1-a²）=0①
由直线l与椭圆相交于两个不同的点，得△=4b⁴-4b²（a²+b²）（1-a²）=4a²b²（a²+b²-1）＞0
所以a²+b²＞1．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由①，得y1+y2=

2b2

a2+b2

，y1y2=

b2(1-a2)

a2+b2

因为

AF

=2

FB

，得y₁=-2y₂
所以，y1+y2=

2b2

a2

=-y2，y1y2=

b2(1-a2)

a2+b2

=-2

y

22

消去y₂，得

b2(1-a2)

a2+b2

=-2(

2b2

a2+b2

)2
化简，得（a²+b²）（a²-1）=8b²
若F是椭圆的一个焦点，则c=1，b²=a²-1，
代入上式，解得a2=

9

2

，b2=

7

2

，
所以，椭圆的方程为：

2x2

9

+

2y2

7

=1．