Question

已知定直线l及定点A（A不在l上），n为过点A且垂直于l的直线，设N为l上任意一点，线段AN的垂直平分线交n于B，点B关于AN的对称点为P，求证：点P的轨迹为抛物线．

Answer 1

分析：建立平面直角坐标系，并且连结PA，PN，NB，证明建立平面直角坐标系，并且连结PA，PN，NB，即可得出结论．

解答：证明：如图所示，建立平面直角坐标系，并且连结PA，PN，NB．
由题意知PB垂直平分AN，且点B关于AN的对称点为P，
∴AN也垂直平分PB．
∴四边形PABN为菱形，
∴PA=PN．
∵AB⊥l，∴PN⊥l．
故点P符合抛物线上点的条件：到定点A的距离和到定直线l的距离相等，
∴点P的轨迹为抛物线．

点评：本题考查抛物线的定义，考查轨迹方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．