Question

设0＜x＜1，a＞0且a≠1，比较|log_a(1－x)|和|log_a(1＋x)|的大小．

Answer 1

答案：
解析：

解：[方法1]当a＞1时，∵0＜x＜1，∴1＋x＞1，0＜1－x＜1． 　　∴|loga(1－x)|＝－loga(1－x)，|loga(1＋x)|＝loga(1＋x)，则 　　|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝－loga(1－x)－loga(1＋x)＝－loga(1－x2)． 　　∵a＞1，0＜1－x2＜1， 　　∴－loga(1－x2)＞0． 　　∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|． 　　当0＜a＜1时，∵0＜x＜1，∴1＋x＞1，0＜1－x＜1． 　　∴|loga(1－x)|＝loga(1－x)，|loga(1＋x)|＝－loga(1＋x)，则 　　|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝loga(1－x)＋loga(1＋x)＝loga(1－x2)． 　　∵0＜a＜1，0＜1－x2＜1， 　　∴loga(1－x2)＞0． 　　∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|． 　　综上，可知|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|． 　　[方法2]＝|log(1+x)(1－x)|． 　　∵1＋x＞1，0＜1－x＜1， 　　∴原式＝－log(1+x)(1－x)＝log(1+x) 　　＝log1+x＝1－log(1+x)(1－x2)＞1． 　　又|loga(1－x)|和|loga(1＋x)|均大于零， 　　∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|． 　　思路分析：一、可以通过分a＞1和0＜a＜1两种情况．依据y＝logax(a＞0且a≠1)，当a＞1时，若x＞1时，y＞0，若0＜x＜1时，y＜0；当0＜a＜1时，若x＞1时，y＜0，若0＜x＜1时，y＞0．利用这一性质首先去掉绝对值号，再利用作差法比较大小；二、由于两式的值均为正数，所以也可以利用作商法进行比较，这一方法比较简便，原因是它可以巧妙地运用换底公式，从而避开了对a的讨论．