Question

已知m∈R，函数f（x）=（x²+mx+m）e^x．
（1）若函数f（x）没有零点，求实数m的取值范围；
（2）若函数f（x）存在极大值，并记为g（m），求g（m）的表达式；
（3）当m=0时，求证：f（x）≥x²+x³．

Answer 1

（1）令f（x）=0，得（x²+mx+m）•e^x=0，所以x²+mx+m=0．
因为函数f（x）没有零点，所以△=m²-4m＜0，所以0＜m＜4．（4分）
（2）f'（x）=（2x+m）e^x+（x²+mx+m）e^x=（x+2）（x+m）e^x，
令f'（x）=0，得x=-2，或x=-m，
当m＞2时，-m＜-2．列出下表：

x	（-∞，-m）	-m	（-m，-2）	-2	（-2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	me-m	↘	（4-m）e-2	↗

当x=-m时，f（x）取得极大值me^-m．（6分）
当m=2时，f'（x）=（x+2）²e^x≥0，f（x）在R上为增函数，
所以f（x）无极大值．（7分）
当m＜2时，-m＞-2．列出下表：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，-m）	-m	（-m，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	（4-m）e-2	↘	me-m	↗

当x=-2时，f（x）取得极大值（4-m）e^-2，（9分）
所以g(m)=

me-m，m＞2 (4-m)e-2，m＜2

（10分）
（3）当m=0时，f（x）=x²e^x，令?（x）=e^x-1-x，则?'（x）=e^x-1，
当x＞0时，φ'（x）＞0，φ（x）为增函数；当x＜0时，φ'（x）＜0，φ（x）为减函数，
所以当x=0时，φ（x）取得最小值0．（13分）
所以φ（x）≥φ（0）=0，e^x-1-x≥0，所以e^x≥1+x，
因此x²e^x≥x²+x³，即f（x）≥x²+x³．（16分）