Question

20．（1）已知函数f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$，当x≥1时，不等式f（x）≥$\frac{k}{x+1}$恒成立，求实数k的取值范围；
（2）已知不等式f（x）=ln（x+1）-ax+e^x．如果对任意x≥0，f（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）能够判断函数x-lnx在[1，+∞）上是增函数，最小值为1＞0．所以在得到x≥1时g′（x）＞0，所以g（x）在[1，+∞）上是增函数，最小值为g（1）=2，求出k的范围即可；
（2）求出f'（x）在（0，+∞）上递增，分类讨论，利用当x≥0时，f（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围即可．

解答 解：（1）由原不等式得：k≤$\frac{（x+1）（1+lnx）}{x}$，
令g（x）=$\frac{（x+1）（1+lnx）}{x}$，则：
g′（x）=$\frac{x-lnx}{{x}^{2}}$，令h（x）=x-lnx，
则：h′（x）=1-$\frac{1}{x}$，
∴x≥1时，h′（x）≥0，即h（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴h（x）≥h（1）=1＞0；
∴x≥1时，g′（x）＞0；
∴g （x）在[1，+∞）上单调递增，
g（x）在[1，+∞）上的最小值为g（1）=2；
因此，k≤2，即实数k的取值范围为（-∞，2]．
（2）f′（x）=e^x+$\frac{1}{x+1}$-a，
则f″（x）=e^x-$\frac{1}{{（x+1）}^{2}}$＞0，
故f'（x）在（0，+∞）上递增，
所以当a≤2时，f'（x）≥f'（0）=2-a≥0，
所以f（x）在[0，+∞）上递增，
故f（x）≥f（0）=1恒成立，
当a＞2时，记φ（x）=f（x）-1，则φ′（x）=e^x+$\frac{1}{x+1}$-a，
记h（x）=e^x+$\frac{1}{x+1}$-a，则h′（x）=e^x-$\frac{1}{{（x+1）}^{2}}$，
当x＞1时，h′（x）＞e-$\frac{1}{4}$，
显然0≤x＜1时，h'（x）＞0，从而φ'（x）在[0，+∞）上递增，
又φ'（0）=2-a＜0，则存在x₀∈（0，+∞），使得φ'（x₀）=0，
所以φ（x）在（0，x₀）上递减，
所以当x∈（0，x₀）时，φ（x）＜φ（x₀）=0，
即f（x）＜1，不符合题意，
综上，实数a的取值范围是a≤2．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查导数知识的运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力．