Question

已知定义在R上的函数f（x）=asinωx+bcosωx+m（ω＞0）的周期为π，且对?x∈R，都有f(x)≤f(

π

12

)=4+m．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）在区间[0，π]存在两个不同的零点x₁、x₂，求参数m的范围，并求这两个零点之和x₁+x₂．

Answer 1

分析：（1）因为函数的周期为π，得ω=2，设f（x）=Asin（2x+φ）+m，根据函数的最大值为4+m得A=4，最后根据f(

π

12

)=4+m，建立关于φ的方程并解之，整理即得f（x）的解析式；
（2）换元法：令t=2x+

π

3

，得方程sint=-

m

4

在区间[

π

3

，

7π

3

]上有两个不等的实数根．由此可得m∈（-4，-2

3

）∪（-2

3

，4），再结合正弦函数的轴对称的性质，t₁+t₂=π或t₁+t₂=3π，化简整理即得两个零点之和x₁+x₂的值．

解答：解：（1）∵函数的周期T=π，∴

2π

ω

=π，得ω=2
因此，设函数的解析式f（x）=Asin（2x+φ）+m
∵函数的最大值为4+m，∴A=4
由题意知，x=

π

12

时函数有最大值
∴2×

π

12

+φ=

π

2

+2kπ，得φ=

π

3

+2kπ，（k∈Z）
取k=0，得f（x）的解析式为：f（x）=4sin（2x+

π

3

）+m
（2）∵x∈[0，π]，∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

7π

3

]
令t=2x+

π

3

，因为函数f（x）在区间[0，π]存在两个不同的零点x₁、x₂，
∴可得

3

2

＜-

m

4

＜1，或-1＜-

m

4

＜

3

2

，解之得m∈（-4，-2

3

）∪（-2

3

，4）
当m∈（-4，-2

3

）时，t₁+t₂=π，即（2x₁+

π

3

）+（2x₂+

π

3

）=π，解之得x₁+x₂=

π

6

；
当m∈（-2

3

，4）时，t₁+t₂=3π，即（2x₁+

π

3

）+（2x₂+

π

3

）=3π，解之得x₁+x₂=

7π

6

．
综上所述，m的范围是∈（-4，-2

3

）∪（-2

3

，4），两个零点之和x₁+x₂为

π

6

或

7π

6

．

点评：本题给出函数y=Asin（ωx+φ）的部分性质，要我们确定其解析式并求函数的零点问题，着重考查了三角恒等变换、三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．