Question

下图是一个直三棱柱(以A₁B₁C₁为底面)被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知A₁B₁＝B₁C₁＝1，∠A₁B₁C₁＝90°，AA₁＝4，BB₁＝2，CC₁＝3．

(1)设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A₁B₁C₁；

(2)求二面角B―AC―A₁的大小；

(3)求此几何体的体积．

Answer 1

答案：
解析：

解法一： 　　(1)证明：作交于，连． 　　则． 　　因为是的中点， 　　所以． 　　则是平行四边形，因此有． 　　平面且平面， 　　则面． 　　(2)如图，过作截面面，分别交，于，． 　　作于，连． 　　因为面，所以，则平面． 　　又因为，，． 　　所以，根据三垂线定理知，所以就是所求二面角的平面角． 　　因为，所以，故， 　　即：所求二面角的大小为． 　　(3)因为，所以 　　． 　　． 　　所求几何体体积为 　　． 　　解法二： 　　(1)如图，以为原点建立空间直角坐标系， 　　则，，，因为是的中点，所以， 　　． 　　易知，是平面的一个法向量． 　　因为，平面，所以平面． 　　(2)，， 　　设是平面的一个法向量，则 　　则，得： 　　取，． 　　显然，为平面的一个法向量． 　　则，结合图形可知所求二面角为锐角． 　　所以二面角的大小是．